कक्षा 11 Mathematics अध्याय 3: त्रिकोणमितीय फलन
आज हम गणित की एक बहुत ही रोमांचक शाखा शुरू करने जा रहे हैं, जिसका नाम है 'त्रिकोणमिति'. क्या आपने कभी सोचा है कि ऊँचे-ऊँचे पहाड़ों की या किसी दूर खड़े पेड़ की ऊँचाई बिना ऊपर चढ़े या बिना उसके पास गए कैसे नापी जाती होगी? या फिर, समुंदर में जहाजों को रास्ता कैसे मिलता है?
▶ वीडियो पाठ देखो🧑🏫 AI सुपर टीचर से पढ़ो⬇ अध्याय PDF📝 प्रश्न-उत्तर PDFइस अध्याय में आप क्या सीखेंगे
- त्रिकोणमिति की भूमिका और कोण की परिभाषा
- कोणों की डिग्री माप
- कोणों की रेडियन माप
- रेडियन और वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध
- डिग्री और रेडियन माप के बीच संबंध और रूपांतरण
- त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा
- चतुर्थांशीय कोण और आवधिकता
- त्रिकोणमितीय फलनों के चिन्ह
- त्रिकोणमितीय फलनों का प्रांत और परिसर
- विभिन्न चतुर्थांशों में फलनों के मानों का परिवर्तन
- दो कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय फलन
- sin(x + y) और sin(x - y) के सूत्र
- tan(x + y) और tan(x - y) के सूत्र
- cot(x + y) और cot(x - y) के सूत्र
- गुणन से योग और अंतर में रूपांतरण (CD सूत्र)
- योग और अंतर से गुणन में रूपांतरण (2AB सूत्र)
वीडियो पाठ (17 भाग)
अध्याय का सारांश
संक्षेप में — तो बच्चों, आज हमने जाना कि त्रिकोणमिति 'त्रिभुज की भुजाओं को मापना' है और इसकी शुरुआत कोण से होती है. कोण तब बनता है जब कोई किरण अपने शुरुआती बिंदु के चारों ओर घूमती है. हमने देखा कि इसके तीन मुख्य हिस्से होते हैं – प्रारंभिक भुजा, अंतिम भुजा और शीर्ष. और हाँ, घुमाव की दिशा बहुत ज़रूरी है – वामावर्त घुमाव धनात्मक कोण देता है, और दक्षिणावर्त घुमाव ऋणात्मक कोण देता है. इस बात को हमेशा याद रखना!
संक्षेप में — तो बच्चों, आज हमने कोणों को मापने के एक महत्वपूर्ण तरीके, 'डिग्री माप' को समझा। हमने देखा कि एक पूरा घुमाव 360° का होता है, और 1° को 60 मिनट (60′) में, और 1 मिनट को 60 सेकंड (60″) में बांटा जाता है। यह ठीक वैसे ही है जैसे हम समय को घंटे, मिनट और सेकंड में मापते हैं, बस यहाँ हम कोणों की बात कर रहे हैं।
परीक्षा के लिए ज़रूरी बातें
बोर्ड परीक्षा के लिए ध्यान रखिए — कोण के चिन्ह से संबंधित प्रश्न अक्सर एक नंबर के लिए सीधे पूछे जाते हैं, इसलिए 'Clockwise' और 'Anticlockwise' के चिन्हों को बहुत ध्यान से याद रखें।
बोर्ड परीक्षा के लिए ध्यान रखिए — डिग्री, मिनट और सेकंड के बीच के रूपांतरण (conversion) पर आधारित छोटे प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं, इसलिए इन मानों को अच्छे से याद रखना।
बोर्ड परीक्षा के लिए ध्यान रखिए — डिग्री को रेडियन में या रेडियन को डिग्री में बदलने वाले सवाल अक्सर 1 या 2 नंबर के लिए आते हैं। π = 180° संबंध को हमेशा याद रखें।
बोर्ड परीक्षा के लिए ध्यान रखिए — यह अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों को समझने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। आगे चलकर sin x और cos x को परिभाषित करते समय, x को एक वास्तविक संख्या के रूप में देखा जाएगा, जो एक रेडियन माप भी होगी।
आम गलतियाँ — इनसे बचें
रुकिए — यहाँ ज़्यादातर बच्चे यह गलती करते हैं। बच्चे अक्सर यह भूल जाते हैं कि कोण को मापते समय घुमाव की दिशा भी बहुत महत्वपूर्ण है।
रुकिए — यहाँ ज़्यादातर बच्चे यह गलती करते हैं। बच्चे अक्सर मिनट और सेकंड को समय की इकाइयों से confuse कर देते हैं, लेकिन यहाँ हम कोण को बांट रहे हैं, समय को नहीं। तो 1° का 60वां हिस्सा 1 मिनट कोण होता है, न कि 1 मिनट समय।
रुकिए — यहाँ ज़्यादातर बच्चे यह गलती करते हैं। बच्चे अक्सर डिग्री और रेडियन को एक ही समझ लेते हैं या बदलते समय सूत्र भूल जाते हैं। हमेशा याद रखना, अगर θ रेडियन में है, तभी l = rθ सूत्र काम करेगा, डिग्री में नहीं।
याद रखने की आसान ट्रिक
इसे याद रखने की एक आसान तरकीब है — अरे वाह, एक छोटा सा खेल खेलें? 'उल्टा हाथ-उल्टा कोण, सीधा हाथ-सीधा कोण'. मतलब, अगर हाथ को ऊपर की तरफ उल्टा घुमाओ (घड़ी की उल्टी दिशा) तो प्लस कोण, और अगर नीचे की तरफ सीधा घुमाओ (घड़ी की दिशा) तो माइनस कोण!…
इसे याद रखने की एक आसान तरकीब है — जैसे एक घंटे में 60 मिनट, एक मिनट में 60 सेकंड, वैसे ही 1 डिग्री में 60 मिनट कोण और 1 मिनट कोण में 60 सेकंड कोण होते हैं। 'समय' और 'डिग्री' की 'उप-इकाइयां' एक जैसी हैं!
रोज़मर्रा की ज़िंदगी में
इसे रोज़मर्रा की ज़िंदगी में ऐसे समझिए — पंखे की ब्लेड का घूमना जो केंद्र के चारों ओर कोण बनाती है। दरवाज़े का घूमना, जहां दरवाज़े का कब्ज़ा शीर्ष (vertex) होता है और दरवाज़ा एक किरण। घड़ी की सुइयों का घूमना — मिनट और घंटे की सुई के बीच हमेशा एक कोण बनता है।
इसे रोज़मर्रा की ज़िंदगी में ऐसे समझिए — घड़ी की सुई जब एक पूरा चक्कर लगाती है, तो वो 360° का कोण बनाती है। एक पिज़्ज़ा को 8 बराबर हिस्सों में काटो, तो हर टुकड़ा केंद्र पर एक कोण बनाता है, जिसे हम डिग्री में नाप सकते हैं।
अभ्यास प्रश्न
अब खुद अभ्यास कीजिए — त्रिकोणमिति शब्द किन दो ग्रीक शब्दों से बना है? घड़ी की सुई की दिशा में (clockwise) घूमने पर कोण का चिन्ह क्या होता है? अगर एक किरण पहले ऊपर की तरफ है और फिर उसे 60 डिग्री 'वामावर्त' (anticlockwise) घुमाया जाता है, तो कोण का मान और चिन्ह क्या होगा?
अब खुद अभ्यास कीजिए — 45° को मिनट में बदलें। 120′ को डिग्री में बदलें। 25° 30′ को केवल डिग्री में व्यक्त करें। 30° 45′ 30″ को केवल डिग्री में व्यक्त करें।
अब खुद अभ्यास कीजिए — 60° को रेडियन माप में बदलिए। π/2 रेडियन को डिग्री माप में बदलिए। 120° को रेडियन माप में बदलिए। एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। 14 सेमी लंबे चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (रेडियन में) ज्ञात कीजिए।
अब खुद अभ्यास कीजिए — क्या एक इकाई वृत्त पर 'π रेडियन' की माप एक वास्तविक संख्या को दर्शाती है? हाँ या ना। इकाई वृत्त पर यदि कोई वास्तविक संख्या 'x' रेडियन कोण बनाती है, तो वृत्त के चाप की लंबाई कितनी होगी?
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
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'त्रिकोणमितीय फलन' अध्याय में कौन-कौन से मुख्य विषय हैं?इस अध्याय के मुख्य विषय: त्रिकोणमिति की भूमिका और कोण की परिभाषा, कोणों की डिग्री माप, कोणों की रेडियन माप, रेडियन और वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध, डिग्री और रेडियन माप के बीच संबंध और रूपांतरण, त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा।
क्या 'त्रिकोणमितीय फलन' की PDF और प्रश्न-उत्तर मुफ़्त हैं?हाँ। अध्याय की PDF और प्रश्न-उत्तर invidya.in पर मुफ़्त डाउनलोड किए जा सकते हैं।
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